"بینهایت": یک توهم غیر منطقی
(بخشی از کتاب "نقد عقل علمی")
Sun 3 06 2012
فرهاد قابوسی
از آنجائیکه "بینهایت" بجهت ساختار ذهنی آن "بی ـ نهایت"، همچون تسمیه عدم خاصیت نهایت نظیر هر تسمیه متکی بر عدم جیزی یا خاصیتی تجربی قابل تعریف منطقی نیست؛ باوجود رواجش در ریاضیات مشخصا مقوله ای غیر منطقی محسوب میشود. و من این اصل را مهمترین اصل منطقی و فلسفی برای آزادی علم و فلسفه از قید خرافات بظاهر علمی معرفی میکنم: که تعریف مقوله ای مجاز به اتکاء بر عدم حاصیت یا شیئی نباید باشد: چون در غیر اینصورت ابتدا باید آن خاصیت یا وجود و یا اعتبار آن شیئ اثبات و محرز بشود و بعد عدم آن در مورد مقوله مذکور اثبات گردد. و این وضع همواره منجر به دور باطل خواهد شد. چراکه ریاضیات بشکل فعلی آن "علم" به مفهوم مطابقت با منطق و عدم تناقض محسوب نمیشود و در عین اینکه محتوی بخش محدود صحیح و منطقی است که کافی برای محاسبات علمی است، لکن بخشهای دیگرش که صرفا تعمیم ناپخته آن بخش محدود هستند آکنده از تناقضات و پارادکس های منطقی متعدد مخصوصا در رابطه با همین مقوله "بی نهایت" است که منجر به "بحران" حل نشده "اساس ریاضیات" در اوایل قرن بیستم شد. و یعنی مشخصا استفاده از این مقوله منجر به تناقضاتی است که علم ریاضی قادر به حل آنها نبوده و نیست. که اگر ریاضیات علم به مفهوم منطقی می بود علی الصول نمی بایست محتوی تناقضات منطقی باشد. وچون این مقوله مجعول "بی نهایت" یکی از مهمترین مصالح مورد سوء استفاده مابعدالطبیعه و سوء استفاده از علم بنفع متافیزیک محسوب میشود، ضروری است که با توصیح آن مانع رواج خرافات در علم شد. تفاوت گذاری های کودکانه میان فیزیک (محدود) و ریاضیات (محدود و نامحدود) هم قادر به حل این مسئله منطقی نیست: چراکه اتفاقا بطور متعارف منطق بخشی از ریاضیات محسوب میشود و یعنی عدم امکان تعریف منطقی این مقوله نقصی است که متوجه ریاضیات آن است.
سه ریاضیدان برجسته در تعریف و ترویج مقوله "بینهایت" وقت بیشتری تلف کرده اند: کانتور، ددکیند و هیلبرت که من سعی میکنم خطاهای آنان را از نظر خودم توضیح دهم.
مسئله بینهایت همچنانکه ریاضیدان نامی "هیلبرت" در خطابه ای به یاد بود "وایر اشتراوس" ریاضیدان اشاره کرده است: "بیش از هر مسئله ای ذهن بشر را دستخوش آشوب ساخته است و ... بیش از هر مسئله ای نیازمند توضیح است". اما خود هیلبرت نیز نتوانست توضیحی برای آن بیابد و سرانجام مجبور بشد با سوء استفاده از "احکام ترکیبی ماقبل تجربی" کانت که خود به لحاظ منطقی زیر سئوال قرار داشته و فاقد اعتباراند، بحث مذکور را ماستمالی کند. در حالیکه برطبق نظر "لُبگ" ریاضیدان در نامه ای به همکارش "امیل بورل": "در ریاضیات تنها آن چیزهائی معتبراند که برایشان تعریفی (منطقی) ارائه شود". لذا باین لحاظ "بینهایت" چون طبق تسمیه قابل تعریف نیست، اعتبار ریاضی ندارد. از یاد نبریم که نه تنها بعضی از ریاضیدانان برجسته نظیر "هرمان وایل" و "برائور" مخالف نظرات هیلبرت در تایید بینهایت بودند بلکه بعضی دیگر نظیر "پاول گوردان" برخی از نظرات هیلبرت را نه ریاضیات بلکه "الهیات" میشناختند.
از آنجائیکه "کانتور" مسبب اتلاف وقت ارزنده و دردسر نسلهای متعددی از علما و مسئول ایجاد تناقضات علم ریاضی، که می بایستی نماینده حاکمیت منطق در علم باشد، شده است میتوان احتمال داد که جنون "کانتور" در تیمارستان پیشتر در حین تقریر "نظریه مجموعه ها" بوسیله وی هم نقشی بازی کرده است: چرا که حتی تعریف وی از "مجموعه" نیز نادرست و مبتنی بر مقولات تعریف نشده است. تعریفی که احتمالا "راسل" منطق دان را سالها بعد از اینکه تناقض معروفش در مورد "نظریه مجموعه ها" را بیان داشت، وادار به این حکم مرگبار در مورد ریاضیات مدرن کرده است که " ریاضیات مبحثی است که در آن نه میدانیم در مورد چه چیزی صحبت میکنیم و نه اینکه آیا آنچه که در باره اش صحبت میکنیم وجود دارد یا نه". در جوار آن نظر برخی از ریاضیدانان برجسته معاصر نظیر " رنه توم" در مورد ضرر بیش از فایده این نظریه موید نظر انتقادی من در مورد "نظریه مجموعه" بصورت متداول آن است. کمااینکه بنظر من تنها مجموعه های محدود آنهم در صورت تعریف منطقی شان معتبر و مفیداند.
اما "ددکیند" همچنانکه از اسمش بر میاید در مورد بینهایت بسیار "کودکانه" اندیشیده است، چراکه اولا برخلاف نظر وی این مقوله بسیار با "هندسه اقلیدسی" مربوط و بنظر من حتی مشخصا متکی بر نظرات اقلیدس است، مخصوصا اگر که "اثبات" اقلیدس از تعدد بی نهایت "اعداد اول" را در نظر بگیریم. ثانیا اگر که دقت شود باصطلاح تعریف ددکیند از "بی نهایت": که " مجموعه ای بی نهایت است که اگر و تنها اگر معادل زیر مجموعه مناسب خویش باشد". دقیقا از نوع "تعاریف" غلطی است که عملا منجر به دور باطل اند. چون "اگر" اول همجنانکه دیگران نظیر "هالموس" نشان داده اند در واقع معادل اینست که بگوئیم: "مجموعه محدود نمیتواند معادل زیر مجموعه مناسب خویش باشد". اما برای اثبات "و تنها اگر" مجبورند که یک "مجموعه بی نهایت" ابتدا فرض کنند و در مورد آن مسئله را اثبات کنند. لذا برای اثبات صدق تعریف ددکیند از مجموعه بینهایت باید ابتدا وجود آنرا پذیرفت و بعد وجودش را اثبات کرد که میشود دور باطل. در حالیکه بدون فرض (!) مجموعه بی نهایت صدق تعریف ددکیند محرز نیست. مخصوصا که این "تعریف" سبب دور باطل میشوند. چون در واقع ددکیند بی نهایت را با بی نهایت "تعریف" کرده است. و در نهایت نادرستی منطقی نظر ددکیند محرز میشود.
"کسانی" که در خارج به این مسائل پرداخته اند آخر سر ناتوانی خویش را با توسل به "اصل تصمیم ناپذیری" مقوله "پیوستگی" در رابطه با مقوله بینهایت اذعان کرده اند. اما کسانی که در ایران به این مسائل پرداخته اند متوجه این موضوع نشده اند که "تناقض معروف" نظریه مجموعه ها که مثلا: "مجموعه اعداد ذوج که بینهایت است مساوی مجموعه اعداد طبیعی است که آنهم بینهایت است، در حالیکه تعداد اعداد طبیعی می بایستی دوبرابر تعداد اعداد ذوج باشد"، تناقضی متوجه "اصل محموعه های بینهایت است". و وقتی که محموعه هارا برای اینکه اصولا قابل تعریف بشوند بر طبق پیشنهاد من به "محموعه های محدود" محدود کنیم، دیگر تناقضی در کار نخواهد بود. یعنی بحث بر سر اینست که آیا مطابق نظر "لبگ" میخواهیم در ریاضیات با کمیات تعریف شده کار کنیم یا با خرافات؟ همچنانکه مساعی علما برای عبور از این تناقض به کمک وارد کردن کمیتی باسم "توان مجموعه" نیز بجائی نرسید.
گذشته از این مساعی ددکیند در توجیه هندسی تعدد بینهایتِ اعداد نیز کودکانه اند، چراکه او برای اینکار نه تنها مجبور به توسل به استفاده از "نفطه" بعنوان مقوله ای تعریف ناپذیر است، همچنانکه "تعریف" اقلیدس از آن منجر به دور باطل است و تا کنون کسی و حتی "پوانکاره" نتوانسته تعریفی غیر دوری از آن ارائه دهد. بلکه او مجبور به توسل به کمیت تعریف ناپذیر "خط مستقیم" (اقلیدس) است که هردو مزید برعلت و حاکی از سطحی بودن اندیشه ددکیند هستند. چرا که خصایص قرار داشتن در "طرف چپ یک نقطه" و یا "طرف راست یک نقطه" تنها برروی "خط راست" (که قابل تعریف هم نیست) قابل توهم است. و برروی خطوط منحنی این خصایص در حالت کلی معتبر نیستند. باید دانست که عدم امکان تعریف خط مستقیم نیز مرجوع به خاصیت انحنای صفر یا شعاع بی نهایت آنست. ویعنی هر مقوله و یا کمّی که در آن مقوله "بی نهایت" وارد باشد، بجهت تعریف ناپذیری اصلی مقوله "بی نهایت" تعریف ناپذیر است و مطابق نظر منطقی "لبگ" نباید مدخلی در ریاضیات بعنوان علمی منطقی داشته باشد. و هر وقت از این حد تجاوز کنیم همچنانکه می بینیم ریاضیات را مواجه با تناقضات خواهیم کرد.
باین ترتیب می بینیم که مقوله "بی نهایت" مقوله ای متناقض و از نظر منطق غلط است. همچنانکه عملا در هر محاسبه ای سر انجام با کمیات محدود حساب میکنند و بی نهایت صرفا تزیینی خرافی برای ریاضیات بشمار میرود که نه تنها سبب فایده ای نشده است بلکه منتهی به تناقض و مظرات دیگر است.